Użytkownik "Mariusz Marszałkowski" <b...@g...pl> napisał w
wiadomości grup dyskusyjnych:h2t38s$5mu$...@i...gazeta.pl...
> Jeśli funkcja dana jest tablicą to ku ścisłości nie da się policzyć jej
> całki :) Pomijając ten mankament, lepsze wyniki uzyska się wtedy gdy
> się zastosuje lepszą aproksymację przebiegu pomiędzy znanymi wartościami.
> A nie znając oryginalnej funkcji, nie wiadomo jak ją lepiej aproksymować
> :)

Po prostu wierzymy iż pewna funkcja czasu u(t), która - jeżeli pominiemy
problemy czysto filozoficzne - opisuje ewolucję pewnego układu. Istnieje też
model matematyczny, który określa zależności jakie powinna spełniać pewna
funkcja psi(t), która - biorąc pod uwagę nasze ograniczenia - jest w
zasadzie równa u(t), a w każdym razie - niezłym jej przybliżeniem. Funkcja
psi jest ciągła (w danym przypadku), klasy C^n, może spełniać jeszcze
rozmaite warunki (np. na wartość asymptotyczną itd. itp.)

Teraz chcemy zbudować model numeryczny. Funkcja psi była i ciągła i miała
jako dziedzinę R. A komputer liczy na podzbiorze (o skończonej mocy) liczb
wymiernych. Nawet zapominając o tym że R i liczby Real to trochę dwie różne
rzeczy - i tak będziemy mieli szeregi skończone zamiast funkcji (rozumianych
jako odwzorowanie). Mamy teraz jakieś ciągi x[1], x[2], ..., x[n] oraz
y[1],y[2],...,y[n] i uważamy że one są takie że norma[ y[k] - psi(x[k])]
jest ogólnie mówiąc mała. Ale że nie mamy pojęcia jakie jest psi, to
wymyślamy sobie jakąś funkcję f, taką że norma[y[k] - f(x[k])] jest mała. I
pewnie wtedy funkcja f nienajgorzej aproksymuje funkcje psi, która z kolei
ma coś wspólnego z u(t), czyli f jakoś tak opisuje u(t). A całka z f
jakośtam ma się do całki z u.

Jeżeli całkujemy numerycznie po dyskretnych punktach - to aby to było
możliwe - konstruujemy sobie jakąś funkcję f. I jeżeli wzór jest wzorem
trapezów - to f jest łamaną, czyli w niektórych miejscach nie ma pochodnej.
Ale z jakiś powodów - np. wiemy że psi spełnia pewne rr czy jeszcze z innych
przyczyn - wiemy że f powinno być np. klasy C^n lub nawet C^nieskończoność.
I wtedy chyba lepiej aproksymować funkcjami sklejanymi wyższego nieco
stopnia. To zapewni że tam gdzie trzeba zrobić coś z obliczonymi punktami
funkcji f - da się zrobić (np. gdy potrzebna będzie 2-ga pochodna to można
ją policzyć będzie). Całe te całkowanie numeryczne to de facto całkowanie
funkcji aproksymującej.

Więc po prostu są dwie sprawy:

- da się czasem wiedzieć coś więcej o przebiegu funkcji - i najczęściej nie
jest to coś, co skłania do wzoru trapezów;
- aproksymacja łamaną nie jest w żadnym razie standardową, bo łamana nie
jest niczym lepsza niż np. sinusoida.

> Podstawowa metoda to zwiększanie "n" i użycie trapezów, niestety wraz
> ze wzrostem "n" wydłuża się czas - ale to wszystko z pewnością już wiesz
> :)

Niezupełnie. Aby zwiększyć n, trzeba popracować - koszt O(n^3) operacji się
mści. Ba, samo całkowanie nie jest sztuką dla sztuki - lecz właśnie jest
potrzebne do wyznaczania właśnie tych y[k] dla k=1,2,...,n Okazało się, że
przejście od trapezów do kubicznych splineów dało możliwość zaoszczędzenia
10 razy na n. Czyli 1000 krotnie szybciej jest. Ale nadal spline'y (jako
aproksymacja i sumowanie całki obliczonej analitycznie pod splinem o danych
współczynnikach) to chyba nie jest to co lubię najbardziej - choć sam
algorytm jest kompaktowy - jakieś 30 linijek, może 50. Ale właśnie szukam
czegoś lepszego - może mieć i 1000 linijek lub sam-nie-wiem-co.

> Nie wspominasz nic o metodzie montecarlo, ale jej dokładność także
> będzie zależała od dokładności aproksymacji wewnątrz przedziałów :)

Monte Carlo do tego się nie nadaje. Dane są "już" w postaci tablicy. Proste
sumowanie jej elementów będzie dokładniejsze i szybsze. W zasadzie i tak
takie sumowanie to metoda trapezów. W MC są narzuty na generowanie liczb
losowych itd. itp. - to się opłaca w niektórych przypadkach - ale chyba
właśnie nie przy takim jednowymiarowym całkowaniu.

> Nie masz takiej możliwości aby jako parametr funkcji całkującej przekazać
> funkcję całkowaną zamiast tablicy jej wartości?

Nie, tzn. np. wyznaczenie jakiegokolwiek y=f( ( x[k]+x[k+1] ) / 2 )
wymagałoby wyliczenia WSZYSTKICH "wartości pomiędzy", czyli (x[m]+x[m+1])/2
, dla m < k . To delikatnie mówiąc nie jest zbyt komfortowe - bo jak tu np.
marzyć o zmiennym kroku itd. itp.?!

slawek