On 7 Lip, 07:34, "slawek" <s...@h...pl> wrote:
> Użytkownik "bartekltg" <b...@g...com> napisał w wiadomości grup
> dyskusyjnych:3f12f484-c177-4105-bda6-f8159c354...@a3
6g2000yqc.googlegroups.com...
>
> > Z jednaj strony zachwalasz splajny, ze sa podobne do funkcji, z
> > drugiej strony to.
>
> Funkcje sklejane są całkiem niezłe - problem w tym, że być może istniej

Udowodniłbyś. I grupa skorzysta. Na razie pamietamy wszyscy, ze
interpolacja
w zadanych wezlach wielomianami wybiera najlepszy wielomian w normie
max,
a splajny w normie L_2. Stad jeszcze nic o wlasnosciach kwadratur nie
wynika.

> lepsze podejście. Lepsze niż "splajny". Po prostu owe funkcje sklejane to
> wyjściowy poziom - jeżeli ktoś może wskazać lepszą metodę - to bardzo się
> ucieszę.

Dalej uwazam, ze zwykla kwadratury.

> > Trapezy, sipmson, czy podobne kwadratury wyzszych, to kwadratury
> > interpolacyjne.
>
> Wszystkie te tzw. kwadratury służyły (i służą) do rozwiązania odmiennego
> zagadnienia: mamy przedział (a,b), pewną znaną funkcję f(x) i chcemy
> obliczyć całkę oznaczoną - a każde obliczenie f(x) - czyli call f(x) -
> kosztuje dużo. Na dzień dobry nie mamy nic - dopiero będziemy obliczali
> wartości funkcji f(x) gdy to będzie potrzebne.
>
> Tymczasem problem jaki należy rozwiązać jest: mamy pewien przedział (a,b),
> mamy JUŻ OBLICZONE wartości f(x) i to w 10000 punktów; ale nie dostaniemy
> ani jednego punktu więcej; chcemy obliczyć całkę. Jak widać nie ma sensu
> zastanawiać się dla jakich x policzyć f(x).

Prosze, skup sie. Liczac te kwadratury wybieramy wezly->obliczamy
wartosci
->(dopasowyjemy wielomian)-> obliczamy kwadrature.
[punkt w nawiasie jest tylko teoretycznie]

Tutaj masz juz wykonane dwa pierwsze kroki. Masz dane. Uzywamy
kwadratury
parabol czy jakiesj innej i z glowy. sumujemy z odpowiednimi
wspolczynnikami
wartosci w tabelce. To wszystko.


> > rzedu da znacznie lepszy wynik*). A to, ze roznica miedzy tym, a
> > trapezami jest taka,
> > ze co drugi wezel bierzemy z dwa razy wieksza waga niz inne.. jak
> > popatrzysz
> > na calke z paraboli to nawet nie jest takie zaskakujace.
>
> Zaskakujące będzie więc dla ciebie jak zobaczysz co stanie się z twoim
> pięknym wzorem gdy dodasz 1 punkt na początku - wagi 2 przyjmą akurat te
> punkty które miały wagi 1. Uśrednienie wszystkich  wzorów tego rodzaju da

Po pierwsze jednego nie dodasz, dla parabol musisz dodac 2, dla
simpspona 3.
Zalozmy, ze dodajemy po prawej i lewej po punkcie. Wspolczynniki sie
zamieniaja.
I co z tego. I tak obie wartosci, ciut rozne, (druga po odjeciu calki
z brzegow) sa
dokladniejsze(!) od przyblizania calki metoda trapezow.


> wagi jednakowe - czyli powrót do wz. trapezów. Ten efekt jest opisany w
> lekturze tak popularnej jak Teukolski et al. "Numerical Recipes".

Ale to usrednianie psuje nam wszystko! To, ze masz nierownomierne
wagi uwzglednia nam poprawki od pochodnych.
Taka kwadratura parabol to kwadratura trapezow + poprawka wynikajaca
z 'wypuklosci'. Usredniajac to spowrotem dostajesz trapezy - tracisz
aproksymowana informacje f'.


> > Simpsona mozesz smialo dawac. Albo wielomany 3 rzedu. Blad taki sam,
> > a prostrze niz splajny.
>
> Bynajmniej. Gołym okiem - wydaje się że to to samo. Jednak te "prostsze"
> dawały niestabilne rezultaty - przeciwnie niż funkcje sklejane. To wszystko

Wyzej masz powiedziane, to nieprawda. Twoja niestabilnosc i tak lezy
ponizej
bledu metody.

> było testowane. Ale oczywiście - być może jest coś jeszcze lepszego - chodzi
> o znalezienie algorytmu "state of art". Czy zastosowanie funkcji
> sklejanych - ściślej, wielomianowych funkcji sklejanych - jest nie do
> poprawienia - tzn. czy nie da się lepiej? To jest właśnie pytanie, na które
> szukam odpowiedzi.

Ciezko mi powiedziec, co juz masz a algorytmie. Z kwestii
technicznych,
dla splajnow niezbyt wysokiego rzedu da sie ta macierz rozwiazywc w
czasie
liniowym (dla kubicznych mamy macierz trojdiagonalna, algorytm jest
szeroko
znany i prosty.. tyle, ze tu cokolwiek ponad parabole da lepszy
wynik).

Notatek nie chce mi sie szukac, jak to dawno temu robilem, ale pewnei
taz w
jakijes czesci da sie ominac wyrazanie wprost wspolczynnikow splajnow
(w jakiejs bazie) i prosto z wartosci w wezlach dostawac calke.

Inny algorytm mozna by zaproponowac, jakbys podal wiecej informacji
o ten funkcji. Moze podczas obliczen jakos dostajesz pochodne..


> > Jesli mozesz uzyskac liczbe punktow postaci 2^n, a funkcja jest
> > gladka,
> > to zdecydowanie romberg - algorytm jakby stworzony do Twojego
> > zagadnienia,
> > mamy tabelke rownooddalonych punktow i szacujemy calke.
>
> Liczba punktów zmienia się w trakcie obliczeń. Jedyną sensowną rzeczą jaką
> można próbować zrobić to ekstrapolacja do nieskończenie małego kroku, np.
> metodą Aitkena.
?


> Jeszcze raz - gdy napisałem że metoda Romberga nie jest
> odpowiednia - to nie dlatego że coś tam - ale dlatego że zostało to
> sprawdzone. Takie kwadratury jak Romberga zakładają że możesz w każdej
> chwili obliczyć dla danego x wartość f(x).  W tym przypadku - to nieprawda.

Nieprawda. Moge najpierw policzyc n punktow, a pozniej zastosowac
jakas
procedure calkowania!

> Nie możesz obliczyć f(x), masz dane wartości x[1],...,x[n] oraz
> y[1],...,y[n]. Oczywiście metodę Romberga można zastosować do funkcji
> interpolującej - ale dla takiej funkcji łatwiej i szybciej policzyć całkę

Ale po co? Jedyne zadanie, jakie przed Toba stoi to zwiac taka
kwadrature,
aby jej wezly pokrywalty sie z x[k]. No, chyba, ze x[k] nie sa rozno
oddalone,
ale o to sie pytalem w pierwszym poscie;p


Jesli tak, to nadal wydaje mi sie, ze kwadratury oparte o interpolacje
wielomianowa,
przy tej samej zalozonej gladkosci funkcji, beda sie sprawowac
lepiej.
Tylko tam wezly moga byc dobrane nieszczesliwie.

Czy wartosci y[k] sa znane dokladnie, czy obliczane z bledem?

pozdr
bartekltg