W dniu 2011-12-14 17:47, A.L. pisze:
> On Wed, 14 Dec 2011 07:12:52 +0100, bartekltg<b...@g...com>
> wrote:
>
>> W dniu 2011-12-14 03:49, A.L. pisze:
>>> On Wed, 14 Dec 2011 03:24:49 +0100, bartekltg<b...@g...com>
>>> wrote:
>
>>>
>>> Co to znaczy "lepiej"?...
>>
>> Osiągamy dany wynik przy mniejszej długości kroku,
>> czyli mniejszym kosztem numerycznem.
>
> Niezupelnie jest to oczywiste, bo RK wymaga wielu ewaluacji prawych
> stron rownania do wykonania jednego kroku, a Euler tylko jednego. Wiec
> nalezaloby sie zastanowic jak wypada proownanie.

Takie szkolne podejście mówi, że koszt*) na krok rośnie nam
liniowo wraz z rzędem, a błąd lokalny maleje jak h^(rząd+1)
Jeśli euler zapewnia nam błąd lokalny eps, to ilość
kroków, do uzyskania tego samego rzędu dokładnośći
w schemacie 3 rzędu wynosi pierwiastek z liczby
kroków eulera. Oczywiscei przy odpowiednich założeniach
co do gładkości funkcji.

*) za koszt rozumiem tu ilość wywołań funkcji
(np w obliczeniach RK ma człon kwadratowy)
i myślę tylko o schematach otwartych.



> Zbieznosc jest wlasnoscia "trywialna"; ewidentnie nei stosujemy
> schematow ktore nie sa zbiezne. Natomiast kazdy schemat charakteryzuje

:)

> sie dwoma parametrami: rzedem aproksymacji i obszarem stabilnosci. I
> tylko w tych kategoriach schematy mozna porownywac, dodajac
> ewentualnie zlozonosc obliczeniowa rozumiana jako ilosc ewaluacji
> prawych stron rownania na krok.
>
> Przy okazji dobrze wspomniec ze "Runge Kutta" nei oznacza jednej
> metody, a klase metod z ktorych kazda ma inne wlasciwosci w sensie
> podanych wyzej, to znaczy obszar stabilnosci, rzad aproksymacji i
> zlozonosc obliczeniowa. RK45 jest nazwa jednej z konkretnych
> implementacji.

Ze wszystkim się zgadzam.


> Obszary stabilnosci popularnych metod RK i Eulera sa bardzo zblizone,
> wiec z punktu widzenia maksymalnego dopuszczalnego kroku niewiele sie
> obie metody roznia. Jezeli zas jestesmy w obszarze stabilnosci, RM
> wysokiego rzedu aproksymacji da rozwiazanie dokladniejsze niz Euler,
> ale bedzie to okupione wieksza zlozonoscia obliczeniowa. Co sie oplaca
> a co nie - pozostaje problemem otwartym., a odpowiedz zalezy miedzy
> innymi od tego jak kosztowne jest obliczanie prawych stron roznania.

Wszytko ok.
Ale jesteś w stanie podać jakiś przykład (nietrywialny, czyli nie
x'=const czy bardzo krótki obszar całkowania, że 4 kroki eulera
dadzą satysfakcjonujące rozwiązanie), gdzie euler sprawdzi się
lepiej.

pzdr
bartekltg