Użytkownik "slawek" napisał w wiadomości grup
dyskusyjnych:a...@n...v.pl
...

>On Sat, 9 Aug 2014 11:13:24 -0700 (PDT), bartekltg <b...@g...com>
>wrote:
>> Mnożenie 100 000 razy daje na doublach błąd 27x epsylon, użycie pow=

>Jak to oszacowaleś?

Tzn. nie że tyle ci akurat wyszło dla jakiś danych (czemu nie? mogło).

Ale że:

sto_tysiecy = 100000;
double a[1..sto_tysiecy] := jakies_random(&seed);
result := jakies_random(&seed);
for ( i in 2..sto_tysiecy ) loop
result := result * a[i];
end
error := 27*epsilon; // see: Bartekltg Great Theorem

Jak uzasadnisz swoją regułę, tj. ostatnią linijkę w pseudokodzie wyżej
zwłaszcza gdy np. "przypadkiem" liczby a[n] := n/1000 ???

IMHO, jeżeli a[n] jest bliskie 1, np. dla każdego n = 1,2, ..., m mamy 0.99
< a[n] < 1.01, to w pesymistycznym przypadku można spodziewać się błędu
m*epsilon.

Dlaczego tak? Bo przy mnożeniu "z grubsza" dodają się błędy względne, a te
dla a[n] prawie równej 1 są prawie równe błędom bezwzględnym. Dodawanie jest
w sensie abs-ów, bo - w pesymistycznym przypadku - wszystko będzie przeciwko
tobie. (W optymistycznym przypadku błędy się całkowicie wyzerują. Tak na
czuja przeciętnie powinno wyjść jakieś sqrt(m)*epsilon, co przy m równym 100
tysięcy daje 300*epsilon.)

Jak jeszcze tego nie rozumiesz, to prosty przykład: a = 17.0, b = 19.0, c =
23.0E+300. Załóżmy że wynik mnożenia a*b, obarczony błędem epsilon,
zapisujesz w rejestrze R. Załóżmy, że mnożenie R*c jest dokładne (jeżeli nie
jest, to jest jeszcze gorzej, ale optymistyczny przypadek). Wtedy błąd
mnożenia a*b powiększa się c krotnie, czyli wynosi epsilon*23.0E+300.
Ponieważ epsilon jest rzędu 1.0E-16, to masz błąd końcowego wyniku ponad
1.0E280. Ździebko dużo w porównaniu do 27*epsilon.

Względny błąd jest ok, ale reguła 27*epsilon po prostu nie działa.

Tak samo jak nie działa reguła "liczby nieparzyste są pierwsze" - i nie
pomaga że 13 jest nieparzysta i pierwsza.