W dniu 2012-10-19 12:59, Baranosiu pisze:

> Ale trzeba byc kumatym, by wiedzieć, że świat nie jest ciągły tylko
> kwantowy, a więc liczby całkowite wystarczą, model "ciągłego świata"
> jest tylko uproszczeniem :D

Bzdura. Liczby całkowite, a właściwie dyskretne zbiory
(bo choćby serię 1/n^2, czyli poziome energetyczne
w najprostszym modelu atomu, ciężko nazwać całkowitymi)
występują jako wyniki, ale nie jako sposób modelowania.

Trochę formalnie, aby mieć pewną przestrzeń V (nie mylić
z potencajłem), hamiltonian układu i obserwable.
H obserwable mają być hermitowskie.

Jak wygląda taka przestrzeń. Najprostsze, qbit.
Jest to a|1> + b|0> , gdzie |a|^2+|b|^2 =1

|0> i |1> to stany podstawowe, ale a i b są
dowolnymi (z uwzględnieniem wiązu) liczbami zespolonymi.
Ciągłość!

Nie mówiąc o takiej cząstce w pułapce, które jest
utożsamiana z funkcją ciągłą z L^2. Tego tałatajstwa
jest więcej niż liczb naturalnych.

Jak taki układ ewoluuje.
? \in V.

??/?t = -i/{\hbar} H?

Znów równanie różniczkowe, ciągłe.

To gdzie się pojawia 'kwantowość',
czyli zbiory dyskretne. W dwóch (na dobrą sprawę
identycznych) miejscach. Po pierwsze operatory
obserwabli. Są samosprzeżone, więc ich widmo
(~wartości własne) są porządne (rzeczywiste).
I to, co obserwujemy, to właśnie te wartości
własne.

A teraz się okazuje, że widmo wielu tych operatorów
jest dyskretne, albo przynajmniej zawiera dyskretny
kawałek (mamy jamkę potencajłu. dla energii cząstki mniejszej
niż energia potenału otoczenia będą istnieć dyskretne stany
związane, ale powyżej, rozwiązaniami będą dowolne fale,
tylko rozpraszane na jamce).
Są obserwable, których widmo jest w całości ciągłe.
Choćby pęd i położenie.


Dwa, hamiltonian też jest obserwablą (energii) i jego
dotyczy to samo. Dodatkowo, często jego widmo jest dyskretne,
więc możemy cały układ zapisać w bazie jego wektorów własnych.

Nasz układ został sprowadzony do przeliczalnej, często skończonej
liczny zmiennych zespolonych. Fajnie, ale cholernie daleko
od 'liczb naturalnych'.



A to wszytko jest i tak ładne i uporządkowane, bo jak się
wyjdzie do "drugiej kantówki", teorii pola, to zatęskni
się za tak porządnymi obiektami jak przestrzeń hilberta.


Nie powinno to zresztą dziwić nikogo, kto słyszał
o komputerach kwantowych. Skoro chcemy tam w rozsądnym
czasie atakować problemy trudne obliczeniowo na maszynie
turinga, to musi w tych kwantach siedzieć coś więcej
niż liczby naturalne.


> Pozatym w zadaniu nie chodziło o napisanie
> symulacji czy o rozwiązanie układu równań różniczkowych, tylko o
> policzenie ile razy bila przetnie promień lasera :D


A pod tym się podpiszę;)

pzdr
bartekltg