-
Data: 2016-05-15 14:26:51
Temat: Re: Liczby Fibonacciego rzędu N
Od: bartekltg <b...@g...com> szukaj wiadomości tego autora
[ pokaż wszystkie nagłówki ]On 15.05.2016 04:23, Borneq wrote:
> W dniu 15.05.2016 o 03:55, Borneq pisze:
>> Właśnie potrzebuję znaleźć granicę x_{i+1}/x_i przy i dążącym do
>> nieskończoności. (jak jest rząd tych ciągów po angielsku?)
Przegapiłęś mojego wczorajszego posta, a tam już były odpowiedzi
na Twoje pytania;-)
Wielomianem charkterystycznym tej rekurencji jest
q^k - q^(k-1) - q^2 - q - 1 = 0
Interesuje Cię największy pierwiastek tego równania
(dlaczego, widać we wspomnianym poście, rozwiązanie
to x[j] a_k q_k^j, gdzie q_j to pierwiastki wielomianu,
dla dużych j istotny jest tylko największy)..
Co lepsze, wielomian ten co najwyzęj dwa pierwiastki rzeczywiste,
interesujacy Cię znajduje się w przedziale [fi,2].
Użyj Newtona zaczynając od puinktu startowego q_0= 2.
(pomiedzy pierwiastkiem a dwójką wykres jest wylukłu,
podchodząc od góry mamy onotoniczną zbieżność metody).
Również sztuczka z wczoraj: dla dużych wartośći k być może
wygodniej jest rozwiazać ten wielomian *(q-1), co daje
zwartą formę:
q^(k+1) - 2 q^k + 1 ==0
Pierwiastki są te same, tylko dołożyliśmy dodatkowo pierwiastek
w jedynce. Numerycznie, np do metody Newtona, powinno nadawać się
lepiej, mniej liczenia.
Iteracja Newtona x <- x -f/f'
(q (2 + k (-2 + q) - q^-k))/(k (-2 + q) + q)
Bardzo ładny wzorek do iterowania, zbiega też elegancko.
Oryginał k=2:
In[107]:= RecurrenceTable[{a[n + 1] == (
a[n] (2 - 2 k + k a[n] - a[n]^-k))/(-2 k + (1 + k) a[n]) /.
k -> 2, a[0] == 2}, a[n], {n, 0, 10}, WorkingPrecision -> 30]
Out[107]= {2.00000000000000000000000000000, \
1.75000000000000000000000000000, 1.64285714285714285714285714286, \
1.61920688007644529383659818442, 1.61803681847513501855590525011, \
1.61803398876643183749199913556, 1.61803398874989484820515162178, \
1.61803398874989484820458683437, 1.61803398874989484820458683437, \
1.61803398874989484820458683437, 1.61803398874989484820458683437}
k=4:
In[108]:= RecurrenceTable[{a[n + 1] == (
a[n] (2 - 2 k + k a[n] - a[n]^-k))/(-2 k + (1 + k) a[n]) /.
k -> 4, a[0] == 2}, a[n], {n, 0, 10}, WorkingPrecision -> 30]
Out[108]= {2.00000000000000000000000000000, \
1.93750000000000000000000000000, 1.92778299933984536716905553131, \
1.92756208799223947008945657261, 1.92756197548295447685033895311, \
1.92756197548292530426190586370, 1.92756197548292530426190586174, \
1.92756197548292530426190586174, 1.92756197548292530426190586174, \
1.92756197548292530426190586174, 1.92756197548292530426190586174}
k=10:
In[109]:= RecurrenceTable[{a[n + 1] == (
a[n] (2 - 2 k + k a[n] - a[n]^-k))/(-2 k + (1 + k) a[n]) /.
k -> 10, a[0] == 2}, a[n], {n, 0, 10}, WorkingPrecision -> 30]
Out[109]= {2.00000000000000000000000000000, \
1.99902343750000000000000000000, 1.99901863282589812378374126107, \
1.99901863271010113873066887060, 1.99901863271010113866340923913, \
1.99901863271010113866340923913, 1.99901863271010113866340923913, \
1.99901863271010113866340923913, 1.99901863271010113866340923913, \
1.99901863271010113866340923913, 1.99901863271010113866340923913}
k=50
In[112]:= RecurrenceTable[{a[n + 1] == (
a[n] (2 - 2 k + k a[n] - a[n]^-k))/(-2 k + (1 + k) a[n]) /.
k -> 50, a[0] == 2}, a[n], {n, 0, 10}, WorkingPrecision -> 30]
Out[112]= {2.00000000000000000000000000000, \
1.99999999999999911182158029987, 1.99999999999999911182158029986, \
1.99999999999999911182158029986, 1.99999999999999911182158029986, \
1.99999999999999911182158029986, 1.99999999999999911182158029986, \
1.99999999999999911182158029986, 1.99999999999999911182158029986, \
1.99999999999999911182158029986, 1.99999999999999911182158029986}
> https://en.wikipedia.org/wiki/Generalizations_of_Fib
onacci_numbers
> tutaj Tribonacci,Tetranacci itd to nie całkiem te o które mi chodzi, bo
> są inicjowane zerami zamiast jedynkami.
> Ale Tribonacci są różne: https://oeis.org/A000213 - te o które chodzi
> https://oeis.org/A000213
> https://oeis.org/A000288
>
> Jakie wzory uogólnionych ciągów inicjowanych jedynkami?
Nie ma problemu, co też możan wywnioskować z postaci
ogolnego rozwiązania.
Warunki początkowe nie ma ją praktycznie znaczenia.
Równnie rekurencyjne jest to samo, więc rozwiązania
podstawowe są takie same.
Granica iloczynu x_{n+1}/x_n będzie taka sama (no, chyba,
że warunki początkowy dały a_k =0 dla największego pierwiastka
q_k).
pzdr
bartekltg
Następne wpisy z tego wątku
- 15.05.16 18:55 bartekltg
- 16.05.16 09:00 Borneq
- 16.05.16 09:16 Borneq
- 16.05.16 14:35 bartekltg
- 16.05.16 14:42 bartekltg
- 16.05.16 16:57 bartekltg
Najnowsze wątki z tej grupy
- Do czego nadaje się QDockWidget z bibl. Qt?
- Bibl. Qt jest sztucznie ograniczona - jest nieprzydatna do celów komercyjnych
- Co sciaga kretynow
- AEiC 2024 - Ada-Europe conference - Deadlines Approaching
- Jakie są dobre zasady programowania programów opartych na wtyczkach?
- sprawdzanie słów kluczowych dot. zła
- Re: W czym sie teraz pisze programy??
- Re: (PDF) Surgical Pathology of Non-neoplastic Gastrointestinal Diseases by Lizhi Zhang
- CfC 28th Ada-Europe Int. Conf. Reliable Software Technologies
- Młodzi programiści i tajna policja
- Ada 2022 Language Reference Manual to be Published by Springer
- Press Release - AEiC 2023, Ada-Europe Reliable Softw. Technol.
- Ada-Europe - AEiC 2023 early registration deadline approaching
- Ada-Europe Int.Conf. Reliable Software Technologies, AEiC 2023
- Ile cykli zajmuje mnożenie liczb 64-bitowych?
Najnowsze wątki
- 2024-05-18 Warszawa => Software .Net Developer <=
- 2024-05-18 Warszawa => Mid/Senior QA Engineer <=
- 2024-05-18 Ulm => Solution Architect (sichere Kommunikation und IoT-Loesungen <=
- 2024-05-18 Katowice => Head of Virtualization Platform Management and Operating S
- 2024-05-18 Warszawa => SAP WM Consultant / Execution <=
- 2024-05-18 Wrocław => Consultant/Implementer Comarch ERP XL <=
- 2024-05-18 Gdańsk => Head of International Freight Forwarding Department <=
- 2024-05-18 Warszawa => Account Manager (Recruitment Services) <=
- 2024-05-18 Łódź => Salesperson - CRM Systems <=
- 2024-05-18 Łódź => Handlowiec - Systemy CRM <=
- 2024-05-17 ZŁOMNIK o pracy w TVN TURBO, nowych przepisach i współczesnej motoryzacji. Turbo Taryfa!
- 2024-05-17 Białystok => DevOps Engineer Conexa First (Contractor) <=
- 2024-05-17 Warszawa => Starszy inżynier oprogramowania (Rust) <=
- 2024-05-17 Zabrze => Junior HelpDesk <=
- 2024-05-17 Bieruń => Administrator i wdrożeniowiec Lotus Notes/Domino <=