Problem jest w zasadzie już częściowo rozwiązany, ale każde ulepszenie
byłoby pożądane. Oszczędzałoby czas, dawało dokładniejsze wyniki, a może
byłoby zwyczajnie prostsze? W każdym razie w literaturze niewiele znalazłem,
podobnie Google itp. Więc problem być może jest ciekawy.

Mamy tablicę y[i], gdzie i=1,2,3,...,n z zadanymi wartościami. Ile wynosi
całka z f(t) od x[1] do x[n], jeżeli x[m] = (m - 1) h, y[m] = f(x[m]) dla m
= 1,2,3,...,n ?

Najprostsza odpowiedź - wzór trapezów - zakłada że f(t) jest łamaną, czyli
że nie istnieje nawet pierwsza pochodna f(t) w x[m]. Dokładność takiej
procedury całkowania jest raczej niewielka... ale zachowuje sie ona
porządnie, tzn. dla n = n+1 całka przyrasta dokładnie o całkę od (n-1) h do
n h.

Taki np. wzór Boole'a w zasadzie niczego nie zmienia - i niezbyt jest
odpowiedni. Nieźle natomiast funkcjonuje algorytm oparty o funkcje sklejane.

Wystarczy przesunąć się o 1, czyli zwiększyć n do n+1, aby wkład do
oszacowywanej całki od przedziału od 1 do n zmienił się (spline inaczej
wygnie się w "starym" przedziale po dołączeniu "nowego" punktu). Nie da się
łatwo "doklejać" nowych punktów - za każdym razem trzeba liczyć od nowa. W
zasadzie to dotyczy każdego wzoru, w którym wkład do całki wnoszony przez
przedział (x[k],x[k+1]) zależy od wartości y[m] jeżeli m <k lub m > k+1 .

Czy jest jakiś fajny algorytm całkowania lepszy niż przez funkcje sklejane?

Nota bene, kwadratury Gaussa, Newtona-Cotesa, całkowanie metodą Romberga -
to nie to, to zupełnie coś innego, bo zakładają jawność funkcji f(x) .
Tymczasem jest założenie, że znane są, owszem, wartości f(x) ale tylko dla z
góry zadanych wartości x.

TIA
slawek