On 7 Lip, 07:34, "slawek" <s...@h...pl> wrote:

> y[1],...,y[n]. Oczywiście metodę Romberga można zastosować do funkcji
> interpolującej - ale dla takiej funkcji łatwiej i szybciej policzyć całkę
> analitycznie (np. gdy interpolacja wielomianem).

Jeszcze inaczej:
No wlasnie! na tym polegaja nasze kwadratury interpolacyjne.
Bierzemy wielomian/funkcje sklajana, dopasowujemy do wartosci
w wybranych wezlach i liczymy scisle calke.

Kwadratura parabol bierze trzy punkty, (0,1,2) dopasowyje tam
parabole,
po czym z jej wspolczynnikow okresla 'pole pod parabolą'. Nastepnie
bierze kolejne dwa przedziały/trzy punkty (2,3,4)..
Jadnak pracujac chwile na kartce papieru mozna zrobic to samo
nie wyliczajac wprost wspolczynnikow paraboli, ale od razu napisac
wzorek wiazacy trzy punkty z _calką pod parabolą interpolujaca te
punkty_.

Podobnie simpson interpoluje na kazdych polejnych trzech przedialach
(4 punkty) wielomian 3 stopnia i wylica calke tego wialomianu.


Jesli odleglosci meidzy wezlami nie sa stale, romberg rzeczywiscei
odpada,
ale kadratury interpolacyjne (wialomianowe, o splajnach juz wiesz jak
to zrobic)
nadal dzialaja. Bierzesz jakas ladna baze, najlepiej lagrange'a
('kanoniczna')
i nia interpolujesz.

Przypomne, ze jesli mamy funkcja f, L_i to baza lagrangea oparta na
wezlach x_j,
to wielomianem interpolacyjnym funkcji f jest po prostu
ff= \sum f(x_i) *L_i

Calke takiego wielomianu mozemy zapisac \int ff= \int \sum f(x_i)
*L_i =
= \sum f(x_i) \int L_i

L_i(x) = (x-x_1)..(x-x_{i-1})*(x-x_{i+1})(x-x_n) /[ (x_i-x_1)..(x_i-x_
{i-1})*(x_i-x_{i+1})(x_i-x_n) ]
calke z tego wyrazenia w granicach x1-xn jestes w stanie policzyc
analitycznie i wstawic
w praogram (jaklo funkcje x_1..x_n). Dla przyzwoitych wezlow powinne
byc wszystkie
dodatnie (ma to pewne znaczenie dla stabilnosci numerycznej). n rzedu
2-10.

Bedzie to na pewno szybsze niz splajny dla duzej liczby punktow.
Mowiles, ze punktow
przybywa. Tutaj poprawiasz jedynie ostatni fragment, dla splajnow
musisz
poprawci wszystkie m(10 000) punktow.

Tylko uwaga, aproksymujac wielomianem stopnia n-1 potrzebujesz n
punktow, czyli
n-1 nowych punktow. Teraz juz Twoj wybor, czy uaktialniac calke tylko,
gdy ich tyle
przybedzie, czy ostatni fragment przyblizac inaczej (wielomianem
mniejszego stopnia
[lepsze wlasnosci] czy wrecz kilkoma - nawet trapezami[najgorsze, dla
niewielkeigo m
i duzego n mozesz wrecz widziac na wykresie poprawke]).

pozdr
bartekltg