W dniu 2012-11-13 14:24, Roman W pisze:
> W dniu wtorek, 13 listopada 2012 13:23:00 UTC użytkownik AK napisał:
>
>> No i owszem :) Pokaz mni jedno miejsce gdzie ktos w tej dyskusji twierdzil
>> ze simson jest najlepszy (np lepszy niz splajny ?).
>> My tylko obalamy twoje idiotyzmy ze trappezy sa lepsze od simpsona !
>> A jak zszyjesz te twoje trapezy to co ?
>> Chyba robi cie sie prosta (no fakt ze pod nia mozna latwo "numerycznie"
>> calke policzyc :)
>
> http://www.johndcook.com/blog/2010/12/02/three-surpr
ises-with-the-trapezoid-rule/

2. Although the trapezoid rule is inefficient in general, it can be
shockingly efficient for periodic functions.
3. The trapezoid rule can also be shockingly efficient for analytic
functions that go to zero quickly, so called double exponential functions.

W tym nie ma nic szokującego dla kogokolwiek, kto widział
oszacowanie błędu dla tego typy kwadratur;)

Błąd pojedynczego trapezu to

int_a^b f(x) - I (f,a,b) = -f'' (c) *(b-a)^3 / 12


f'' (c) to wartość drugiej pochodnej funkcji
całkowanej w punkcie c \in [a,b].

Podkreślam, to jest wzór na błąd, nie jego szacowanie.
Nie wiadomo jedynie, ile wynosi c;)

Teraz budujemy kwadraturę złożoną. Wiele n przedziałów [a_{i-1},a_i]
a_0 = a, a_n =b długości h każdy.

łączny błąd wynosi

int_a^b f(x) - I (f,a,b) = -(h)^3 / 12 sum_{i=1}^{n} f'' (c_i)
= -(h)^3 / 12 h sum_{i=1}^{n} f'' (c_i)

Z tym, że c_i \in [a_{i-1},a_i]

Kolejne c_i są dowolne, ale ograniczone do swoich równo
oddalonych pudełek...


To czym jest h sum_{i=1}^{n} f'' (c_i)

Pewnym przybliżeniem całki z f'' na [a,b]!
A ta całka wynosi dla podanych przypadków 0.
Wartości błędów w poszczególnych przedziałach
wzajemnie się znoszę, z grubsza w takim tempie,
jak zbiega to oszacowanie na int f''.


BTW, są metody całkowania opierające się na prostej
kwadraturze i analizie zachowania kolejnych pochodnych
na brzegach. Nazwa mi wyleciała, natknąłem się chyba
przy okazji problemu z całkowanie funkcji szybko
oscylujących.

pzdr
bartekltg