W dniu 2012-11-08 01:51, AK pisze:
> Użytkownik "bartekltg" <b...@g...com> napisał:
>
>> Nie no, nie sprowadzał _wszystkich_ metod całkowania numerycznego
>> do trapezów, a jedynie kwadratury Newtona-Cotesa (interpolacja
>> wielomianem na równo odległych węzłach, sprowadza się do sumy
>> sum_i w_i*f(x_i)).
>
> Hm.. Jakby tu rzec.. Co mi "swita we lbie", ze przy pewnym zalozeniu
> to slawek moze miec sporo racji..

Tak, dla całkiem sporej rodziny funkcji wyniki będą te same.
Np liniowych;) czy sinusa po pełnym okresie. Tylko co z tego.
Dla każdej funkcji ciaglej znajdziesz kwadrature jednopunktową,
dająca dokładny wynik. Liczy się ogolna sprawność metody
dla funkcji danej klasy.

> O ile pamietam (wybacz, 25lat to naprawde dosc duzo aby zapomniec)
> to trapezy maja sie tak:
> 1/2*(f[0] + 2*SUM(i=1,n-1: f[i] + f[n])
> a "klasyczny" Simpson:
> 1/3*(f[0] + 4*SUM(i=1,n-1, 2: f[n]) + 2*SUM(i=2,n-2, 2: f[n]) + f[n])
> ale.. gdyby tak w ty Simpsonie brac tylko/sumowac pierwszy przedzial
> i przesuwac parabolke o jeden krok a nie dwa, albo tym szesciennym (3/8)
> Simpsonie brac srodkowy przedzial, tez przesuwajac co jeden krok
> to kto wie czy nie sprowadzi sie to (poza punktami skrajnymi przedzialu,
> ale t mozna pomonac/zaniedbac) do tych trapezow ?

Podobnie argumentował slawek. I jest to właśnie nasza bzdura;)

Wyobraź sobie to tak: wydziel z simpsona sumę dającą trapezy,
pozostanie poprawka (o dodatnich i ujemnych wagach!).

Ta poprawka odpowiada za scałkowanie 'krzywizny' - tego,
co wystaje ponad linię prostą z dokładnością do paraboli.

Po uśrednieniu ten wkład się kasuje. Tak, problem występuje
na brzegach. Jeśli jest to funkcja okresowa, można simpsona
przesunąć 'o pół', dostać równie dobry wynik. Ich średnia
też bedzie tak samo dobra => trapezy są tak samo dobre.
Ale co w tym dziwnego, skoro dla takich funkcji całki po okresie
z kolejnych pochodnych wynoszą 0:)


Zresztą, ostatnio chciałeś zabaw programistycznych. Jest
okazja. Porównanie kilku takich metod to chwila, a zobaczysz
na własne oczy różnicę, nie będziesz musiał wierzyć na słowo,
że taka drobna zmiana daje dużo.
Złośliwie można zaproponować jako funkcję próbną np x^3:)
Bardziej uczciwie, np sin(x)^2/x na [0,pi/2]. To ma znaną
analitycznie wartość.

Dywagacje dywagacjami, a metody wyższego rzędu działają lepiej;)
[oczywiście dla odpowiednio gładkich funkcji, simpson da ciała
na nieciągłości pochodnej, i z uwagą, że N-S przy rzędzie chyba
coś koło 8 przestaje być stabilny - pojawiają się się ujemne wagi].


BTW, kwadratura romberga oparta ejst na tych samych węzłach,
a zbiega jak szalona (dla funkcji gładkich). A to przecież
tylko średnia ważona kilku trapezów.


pzdr
bartekltg