A.L. <a...@a...com> napisał(a):

> On Mon, 6 Jul 2009 16:05:40 +0000 (UTC), "Mariusz Marszałkowski"
> <b...@g...pl> wrote:
>
> >Mateusz Ludwin <n...@s...org> napisał(a):
> >
> >> Mariusz Marszałkowski wrote:
> >> > Wit Jakuczun <w...@g...com> napisał(a):
> >> >
> >> >> On 6 Lip, 16:55, "Mariusz Marsza=B3kowski" <b...@g...p
> >> >>> Je=B6li funkcja dana jest tablic=B1 to ku =B6cis=B3o=B6ci nie da si=EA p
> o=
> >> >> liczy=E6 jej
> >> >>> ca=B3ki :)
> >> >> To nie jest prawda, patrz rachunek prawdopodobie=F1stwa.
> >> >> O ca=B3ce Lebesque'a s=B3ysza=B3e=B6?
> >> >
> >> > "W uproszczeniu całkowanie oznacza obliczanie pola pod wykresem funkcji na
> >> > zadanym odcinku."
> >>
> >> Byłeś kiedyś na jakichś studiach?
> >
> >W czym problem?
> >http://pl.wikipedia.org/wiki/Ca%C5%82ka_Lebesgue%27
a
> >
> >Pozdrawiam
>
> W tym problem ze chyba nie byles na zadznych studiach...
>

Byłem i nijak to się ma do całek, natomiast zdaje dobrze służyć
do dosrania komuś.


--
Wysłano z serwisu Usenet w portalu Gazeta.pl -> http://www.gazeta.pl/usenet/

do góry

Wit Jakuczun <w...@g...com> napisał(a):

> On 6 Lip, 18:02, "Mariusz Marsza=B3kowski" <b...@g...pl>
> wrote:
>
> > Co najwy=BFej 3 stopie=F1. Dziedzina tak podanej funkcji to zbi=F3r {1,2,=
> 3,4}.
> > Nie umiem tego sca=B3kowa=E6.
> >
> A policzy=E6 prawdopodobie=F1stwo umiesz? Np. jakie jest
> prawdopodobie=F1stwo wyrzucenia parzystej liczby oczek
> na kostce?
> Do policzenia tego stosujesz w=B3a=B6nie ca=B3k=EA :)
>

Ok, nie rozumiem tak zdefiniowanej całki, jeśli kiedyś będę miał czas i
warunki to się chętnie zapoznam. Dziękuję za uświadomienie mi czegoś.

Pozdrawiam



--
Wysłano z serwisu Usenet w portalu Gazeta.pl -> http://www.gazeta.pl/usenet/

do góry

Użytkownik "Mariusz Marszałkowski" <b...@g...pl> napisał w
wiadomości grup dyskusyjnych:h2t38s$5mu$...@i...gazeta.pl...
> Jeśli funkcja dana jest tablicą to ku ścisłości nie da się policzyć jej
> całki :) Pomijając ten mankament, lepsze wyniki uzyska się wtedy gdy
> się zastosuje lepszą aproksymację przebiegu pomiędzy znanymi wartościami.
> A nie znając oryginalnej funkcji, nie wiadomo jak ją lepiej aproksymować
> :)

Po prostu wierzymy iż pewna funkcja czasu u(t), która - jeżeli pominiemy
problemy czysto filozoficzne - opisuje ewolucję pewnego układu. Istnieje też
model matematyczny, który określa zależności jakie powinna spełniać pewna
funkcja psi(t), która - biorąc pod uwagę nasze ograniczenia - jest w
zasadzie równa u(t), a w każdym razie - niezłym jej przybliżeniem. Funkcja
psi jest ciągła (w danym przypadku), klasy C^n, może spełniać jeszcze
rozmaite warunki (np. na wartość asymptotyczną itd. itp.)

Teraz chcemy zbudować model numeryczny. Funkcja psi była i ciągła i miała
jako dziedzinę R. A komputer liczy na podzbiorze (o skończonej mocy) liczb
wymiernych. Nawet zapominając o tym że R i liczby Real to trochę dwie różne
rzeczy - i tak będziemy mieli szeregi skończone zamiast funkcji (rozumianych
jako odwzorowanie). Mamy teraz jakieś ciągi x[1], x[2], ..., x[n] oraz
y[1],y[2],...,y[n] i uważamy że one są takie że norma[ y[k] - psi(x[k])]
jest ogólnie mówiąc mała. Ale że nie mamy pojęcia jakie jest psi, to
wymyślamy sobie jakąś funkcję f, taką że norma[y[k] - f(x[k])] jest mała. I
pewnie wtedy funkcja f nienajgorzej aproksymuje funkcje psi, która z kolei
ma coś wspólnego z u(t), czyli f jakoś tak opisuje u(t). A całka z f
jakośtam ma się do całki z u.

Jeżeli całkujemy numerycznie po dyskretnych punktach - to aby to było
możliwe - konstruujemy sobie jakąś funkcję f. I jeżeli wzór jest wzorem
trapezów - to f jest łamaną, czyli w niektórych miejscach nie ma pochodnej.
Ale z jakiś powodów - np. wiemy że psi spełnia pewne rr czy jeszcze z innych
przyczyn - wiemy że f powinno być np. klasy C^n lub nawet C^nieskończoność.
I wtedy chyba lepiej aproksymować funkcjami sklejanymi wyższego nieco
stopnia. To zapewni że tam gdzie trzeba zrobić coś z obliczonymi punktami
funkcji f - da się zrobić (np. gdy potrzebna będzie 2-ga pochodna to można
ją policzyć będzie). Całe te całkowanie numeryczne to de facto całkowanie
funkcji aproksymującej.

Więc po prostu są dwie sprawy:

- da się czasem wiedzieć coś więcej o przebiegu funkcji - i najczęściej nie
jest to coś, co skłania do wzoru trapezów;
- aproksymacja łamaną nie jest w żadnym razie standardową, bo łamana nie
jest niczym lepsza niż np. sinusoida.

> Podstawowa metoda to zwiększanie "n" i użycie trapezów, niestety wraz
> ze wzrostem "n" wydłuża się czas - ale to wszystko z pewnością już wiesz
> :)

Niezupełnie. Aby zwiększyć n, trzeba popracować - koszt O(n^3) operacji się
mści. Ba, samo całkowanie nie jest sztuką dla sztuki - lecz właśnie jest
potrzebne do wyznaczania właśnie tych y[k] dla k=1,2,...,n Okazało się, że
przejście od trapezów do kubicznych splineów dało możliwość zaoszczędzenia
10 razy na n. Czyli 1000 krotnie szybciej jest. Ale nadal spline'y (jako
aproksymacja i sumowanie całki obliczonej analitycznie pod splinem o danych
współczynnikach) to chyba nie jest to co lubię najbardziej - choć sam
algorytm jest kompaktowy - jakieś 30 linijek, może 50. Ale właśnie szukam
czegoś lepszego - może mieć i 1000 linijek lub sam-nie-wiem-co.

> Nie wspominasz nic o metodzie montecarlo, ale jej dokładność także
> będzie zależała od dokładności aproksymacji wewnątrz przedziałów :)

Monte Carlo do tego się nie nadaje. Dane są "już" w postaci tablicy. Proste
sumowanie jej elementów będzie dokładniejsze i szybsze. W zasadzie i tak
takie sumowanie to metoda trapezów. W MC są narzuty na generowanie liczb
losowych itd. itp. - to się opłaca w niektórych przypadkach - ale chyba
właśnie nie przy takim jednowymiarowym całkowaniu.

> Nie masz takiej możliwości aby jako parametr funkcji całkującej przekazać
> funkcję całkowaną zamiast tablicy jej wartości?

Nie, tzn. np. wyznaczenie jakiegokolwiek y=f( ( x[k]+x[k+1] ) / 2 )
wymagałoby wyliczenia WSZYSTKICH "wartości pomiędzy", czyli (x[m]+x[m+1])/2
, dla m < k . To delikatnie mówiąc nie jest zbyt komfortowe - bo jak tu np.
marzyć o zmiennym kroku itd. itp.?!

slawek

do góry

Użytkownik "Wit Jakuczun" <w...@g...com> napisał w wiadomości grup
dyskusyjnych:e23df4d2-c8be-4fed-a001-ff1e161fac7c@37
g2000yqp.googlegroups.com...
>> Jeżeli krzywa jest przybliżana łamaną nie będącą prostą,
> Pozwolisz, że ten tekst sobie zachowam? Jest świetny.

Oczywiście. Prosta to szczególny przypadek łamanej, choć jest jako taka
pojęciem podstawowym u Euklidesa. Jeżeli wszystkie segmenty łamanej
przypadkiem będą współliniowe, to taka łamana nie będzie się różnić od
prostej. To zdegenerowany przypadek i trochę bez sensu go rozpatrywać - ale
w takim przypadku istniałaby wszędzie pochodna - i dlatego zastrzegłem na
wszelki przypadek, że nie o to mi chodzi. :)

slawek

do góry

Użytkownik "Mariusz Marszałkowski" <b...@g...pl> napisał w
wiadomości grup dyskusyjnych:h2t4tf$cf9$...@i...gazeta.pl...
> Jak policzyć całkę funkcji danej taką tabelą?
>
> x|1|2|3|4
> ------------
> y|4|3|4|3

Prawidłowa odpowiedź: zero. (Dziedzina ma miarę etc.)

Z drugiej strony, jeżeli x to czas, y to prędkość, to można już próbować
oszacować ile wynosi całka (czyli przebyta droga), bo wiemy że prędkość nie
może zmieniać się zbyt gwałtownie (prędkość jest ciągłą funkcją czasu) itd.
itp.

slawek

do góry

Użytkownik "Mariusz Marszałkowski" <b...@g...pl> napisał w
wiadomości grup dyskusyjnych:h2t6a5$htv$...@i...gazeta.pl...
> Nie wiem jak obliczyć pole jeśli funkcja jest określona tylko w punktach
> zawartych w tabeli.

I właśnie na to pytanie szukamy odpowiedzi. Jak do tej pory standardową
metodą była metoda trapezów. Oczywiście, takie podejście było
nie-do-przyjęcia z punktu widzenia matematyków. Ale każdy wie o co chodzi i
jak to się robi. Lepszą metodą jest aproksymacja funkcjami sklejanymi. Tzn.
zanim funkcja podcałkowa zacznie przypominać odcinek prostej to wyraźnie
robi się podobna do (kawałka) wielomianu.

Pytanie - czy jest jeszcze lepsza metoda?

> 2) Wybieramy losowo ( o rozkładzie liniowym ) punkt (x,y) gdzie x należy

Koszt obliczenia każdego punktu jest obrzydliwie wielki, chyba że punkt jest
już w tablicy. W zasadzie aby wyliczyć jeden punkt - trzeba skonstruować
całą tabelkę.

Metody MC stosują już do tego inni ludzie - tacy co nie całkują tylko od
razu bawią się w ping-ponga. Przy liczbie cząstek rzędu 10^23 może im trochę
RAM brakować...

slawek

do góry

slawek <s...@h...pl> napisał(a):

> Nie, tzn. np. wyznaczenie jakiegokolwiek y=f( ( x[k]+x[k+1] ) / 2 )
> wymagałoby wyliczenia WSZYSTKICH "wartości pomiędzy", czyli (x[m]+x[m+1])/2
> , dla m < k . To delikatnie mówiąc nie jest zbyt komfortowe - bo jak tu np.
> marzyć o zmiennym kroku itd. itp.?!

A może da się cały zbiór danych dobrze aproksymować jakąś funkcją i
wtedy całkę funkcji aproksymującej?

Pozdrawiam


--
Wysłano z serwisu Usenet w portalu Gazeta.pl -> http://www.gazeta.pl/usenet/

do góry

Użytkownik "A.L." <a...@a...com> napisał w wiadomości grup
dyskusyjnych:1ha4551u4tbnlo02cjmpjbbp07vgn3hilm@4ax.
com...
> W tym problem ze chyba nie byles na zadznych studiach...

Chyba jestem w KF u A.L. (co samo w sobie prawie jak Nobel :) ), ale nie
mogę sie powstrzymać od komentarza:

czy gdyby przedmówca A.L. odparł mu że owszem, skończył grekę klasyczną,
archeologię, eksternistycznie prawo a ponad to doktorat z filozofii i trzeci
stopień mistrzowski w karate - to jaki miałoby to wpływ na dalszą dyskusję?
Zero wiedzy o całkach. A warunek "bycia na studiach" - spełniony byłby jak
najbardziej! Cóż, ani Indiana Jones ani Lara C. nie są godnymi dyskusji z
A.L. :)

slawek

do góry

Użytkownik "Michoo" <m...@v...pl> napisał w wiadomości grup
dyskusyjnych:h2tcvs$kbn$...@n...onet.pl...
> mieć też równe pochodne do n-1 rzędu - jeżeli masz tylko tablicę z
> wartościami funkcji bazowej to jak zrobiłeś splajny stopnia większego niż
> 1(gdzie wychodzi łamana - jak we wzorze trapezów)?

Interpolacja spline'em. Ma się zgadzać wartość i m-1 pochodnych, ma być
wielomian stopnia m-tego pomiędzy węzłami. Z tego wychodzi jaki to spline.
Ze spline nietrudno policzyć całkę - skoro to wielomian, to całka jest
wielomianem, potem tylko granice całkowania - sumowanie po wszystkich
kawałkach. Patrz Forman S. Acton, Numerical Methods that Work, Princeton
University, (ISBN-13: 9780883854501 | ISBN-10: 0883854503) - niezła książka
na swój sposób. Nota bene, odjazd to jest jak to się robi na zespolonych
(zmiana deklaracji) - też działa, bo czemu miałoby nie działać?! :)

slawek


!***************************************************
****************************************************
****************************
!
! Spline integration
!
!***************************************************
****************************************************
****************************

double precision function intspl(y,n,h)

integer, parameter :: nmax = 16384

double precision h
double precision :: y(1)
double precision :: sa,sb,sc,sd,un
double precision, dimension(nmax) :: s,u

s(1) = 0.
s(n) = 0.
u(1) = 0.
sa = 0.
sb = 0.
sc = 0.
sd = 0.

if(n .gt. 1) then
do i=2,n-1
s(i)= -1.0 / (s(i-1) + 4.0)
u(i)=(y(i+1)-2*y(i)+y(i-1)) / h
u(i)=(12.0*u(i)/h - u(i-1))/(s(i-1)+4.0)
end do
do i=n-1,1,-1
s(i)=s(i)*s(i+1)+u(i)
end do
do i=1,n
sa = sa + (s(i+1)-s(i))
sb = sb + (s(i)/2.)
sc = sc + ((y(i+1)-y(i))/h - (2.*h*s(i)+h*s(i+1))/6.)
sd = sd + y(i)
end do
end if

intspl = h**4/4.*sa + h**3/3.*sb + h**2/2.*sc + h*sd

end function intspl

do góry

On 6 Lip, 18:06, "slawek" <s...@h...pl> wrote:

> Nic nie daje. Jeżeli jest 10 tysięcy punktów to zastosowanie wzoru Boole'a
> czy Simpsona nie jest lepsze niż metoda trapezów. Różne wyniki mogą
> wprowadzać jedynie punkty na końcach krzywej. A tych jest paręnaście sztuk
> na kilkadziesiąt tysięcy punktów "wewnątrz". Weź sobie np. wzorek Simpsona i
> uśrednij wszelkie możliwe jego przyłożenie do tych 10 tysięcy punktów -
> ostatecznie każdy punkt wewnętrzny będzie miał taką samą "wagę".

Cytujac jednago z grupowiczow: glupoty pleciesz.

Z jednaj strony zachwalasz splajny, ze sa podobne do funkcji, z
drugiej strony to.

Trapezy, sipmson, czy podobne kwadratury wyzszych, to kwadratury
interpolacyjne.
Mozesz na nie patrzec tak, ze dopasowujemy do n (trzech) punktlow
wielomian
(parabole) i liczymy jej calke. Mozesz brac wyzszy stopien wielomianu
i rzadac
gladkosci na zszyciach (o, juz prawie splajny;)
Jesli funkcja jest odpowiedniej klasy, majac zadane n punktow,
kwadratura wyzszego
rzedu da znacznie lepszy wynik*). A to, ze roznica miedzy tym, a
trapezami jest taka,
ze co drugi wezel bierzemy z dwa razy wieksza waga niz inne.. jak
popatrzysz
na calke z paraboli to nawet nie jest takie zaskakujace.

Tak wiec:
zastanow sie, co mozesz powiedziec o klasie gladkosci swojej funkcji,
czy wiesz cos o jej pochodnych i dobierz kwadrature interpolacyjna,
ktora
bedzie dawala najmniejsze osacowanie bledu.
Simpsona mozesz smialo dawac. Albo wielomany 3 rzedu. Blad taki sam,
a prostrze niz splajny.

Jesli mozesz uzyskac liczbe punktow postaci 2^n, a funkcja jest
gladka,
to zdecydowanie romberg - algorytm jakby stworzony do Twojego
zagadnienia,
mamy tabelke rownooddalonych punktow i szacujemy calke.


*) do czasu. aproksymacja wielomaniami o wezlach rowno oddalonych zle
sie zachowuje,

pozdrawiam
bartek

do góry