W dniu 2012-11-15 07:37, Baranosiu pisze:
> Dnia 14.11.2012 bartekltg <b...@g...com> napisał/a:
>> W dniu 2012-11-14 12:31, Michoo pisze:
>>
>>>> z reguły Simpsona wynika, iż gdy uda się nam dokładniej mierzyć
>>>> dla parzystych to będzie z tego znacznie lepsza poprawa dokładności
>>>> całki niż w przypadku dokładniejszych nieparzystych.
>>>
>>> A taka sytuacja miałby zajść w jakim przypadku praktycznym?
>>
>> Zrobiłem kilka testów.
>>
>> Ta sama funkcja, sin(x)exp(-x) na [0,5],
>> te same metody, puszczone na okolice 10000,
>> 1000 i 100 węzłów.
>>
>> Tym razem dodajemy jednak do każdego punktu szum:)
>> Wartość losową z rozkładu gaussa o zadanym
>> odchyleniu standardowym (zwanym dalej poziomem szumu).
>>
>> Tradycyjnie, manipulujemy poziomem szumu w przedziale
>> 1 do 10^-15 i badamy jakość przybliżenia wartości dokładnej.
>>
>> Ponieważ mamy odczynienia z wartością statystyczną, dla
>> każdego zestawu metoda-poziom szumy obliczenie zostaje powtórzone
>> 1000 razy, a jako wynik bierzemy średnią kwadratową różnic
>> względem wartości analitycznej.
>
> No tak to można wszystko wykazać (dodać szum i to Gaussa, żeby go
> potem "odszumić" średnią :D).

To będzie prawdziwe dla każdego modelu szumu z zerową średnią.
Gaussa akurat mam w bibliotece i łatwiej się liczy jego skutki
niż jednostajnego na odcink [-a,a].

> Ale potraktujmy ten wektor węzłów
> sin(x)*exp(-x) z dodanymi "odchyłkami" jako dane dokładne (na przykład

Tak zrobiłem!

Wyliczyłem sin(x)*exp(-x) i w każdym punkcie dodałem liczbę
losową ~N(0,sd^2). Teraz w te dane walnąłem całkowaczem,
powstał wynik. Ten wynik porównuje z wartością dokładną,
to 'błąd metody'.

Dopiero tak uzyskanie wyniku powtarzam 1000 razy.
Jako ostateczny wynik wypisuje średnią kwadratową tych
1000 błędów metody.

Nie, nie uśredniałem po punktach przed całkowaniem:D


> jako pochodzące z samplera audio o zerowym szumie) i dla tych
> danych trapez z wszystkich próbek wyjdzie dokładniej, niż simpson z co
> dziesiątej czy N-C z co setnej próbki i myślę że to Sławek miał na
> myśli pisząc o "lepszości trapezów w niektórych przypadkach". Owszem,

Oczywista oczywistość. Błąd pochodzący z 'dokładnej' części może
być nawet mniejszy, ale błąd "statystyczny" będzie sqrt(10) raza
większy.

Ale ja nie rozmawiam o urojeniach i poprawnych przewidywaniach
sławka, tylko zastanowiłem się nad problemem, czy aby przypadkiem
metody wyższego rzędu nie są bardziej wrażliwe na szum.

Taka była moja intuicja: Skoro interpretujemy nierównomierność
wag węzłów jako poprawkę szacującą wpływ pochodnej, to czy szum
nie wpływa na nią bardziej.

Oczywiście, porównując przypadki tej samej liczby węzłów,
wartości funkcji.


> można i Simpsopna czy N-C policzyc po wszystkich węzłach, ale obliczeń
> "nieco" więcej a wynik niekoniecznie lepszy, bo nie wiemy jakie jest

Nie jest nieco więcej, bo porównywałem taką samą liczbę węzłów,
nie taką sama liczbę kwadratur podstawowych. Mnożenie w co drugim
okresie przez inną liczbę też da się wyeliminować.

> "exact", chyba że wiemy, ale na przykład pisząc firmware oscyloskopu,
> które ma liczyć RMS przebiegu, nie możemy robić jakichś szczególnych
> założeń co do źródła sygnału, do jakiego oscyloskop jest podłączony a

A co ma znajomość exact do tego? Na tym polega problem, ze exact
nie znamy;) I na tym polegają takie proste testy, że obserwujemy,
jak numerki radza sobie z zadaniem, dla którego rozwiązanie znamy.

> konwerter analogowo-cyfrowy jest powiedzmy 16-bitowy więc jaki jest
> sens stosowania "lepszych" (dokładniejszych) metod?

Dokładnie to, co napisałem na końcu posta i co widać na wykresie.

-Nie wiemy, jaki jest szum.

-Jeśli jest duży, wszytki metody oparte na tych samych węzłach
dadzą ten sam wynik. To jest podstawowy wynik. Im bardziej
się nad tym zastanawiam, tym oczywistszy;)

Jeśli jest mały, lepsze metody dadzą lepszy wynik.



Zresztą, ani słowa nie powiedziałem o RMS. Pisałem o gładkiej
funkcji z pomiarami zaburzonymi w taki a taki sposób;)

pzdr
bartekltg